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線性系統的狀態空間描述

時間:2014-11-12 11:17來源:www.yangxinkx.com 編輯:自動控制網
1、系統數學描述的兩種基本類型 這里所謂的系統是指由一些相互制約的部分構成的整 體,它可能是一個由反饋閉合的整體,也可能是某一控制 裝置或受控對象。文章中所研究的系統均假定具有若干輸 入端和輸出端,如圖所示。 圖中方塊以外的部分為系統環境,環境對
1、系統數學描述的兩種基本類型
   這里所謂的系統是指由一些相互制約的部分構成的整 體,它可能是一個由反饋閉合的整體,也可能是某一控制 裝置或受控對象。文章中所研究的系統均假定具有若干輸 入端和輸出端,如圖所示。
    圖中方塊以外的部分為系統環境,環境對系統的作 用為系統輸入,系統對環境的作用為系統輸出,二者分別用向量表示,它們均為系統的外部變量。描述系統內部每個時 刻所處狀況的變量為系統內部變量,以 向量表示。系統的數學描述是反映系統變量間因果關系 和變換關系的一種數學模型。
    系統的數學描述通常有兩種基本類型。一種是系統 的外部描述,即輸入-輸出描述。
    系統描述的另一種類型是內部描述,即狀態空間描述。這種描述是基于系統內部結構分析的一類數學模型,通常 由兩個數學方程組成。一是反映系統內部變量 和輸入變量間因果關系的數學表達式, 常具有微分方程或差分方程的形式,稱為狀態方程。另一 個是表征系統內部變量及變量和輸出變量間轉換關系的數學式,具有代數方程的形式,稱為輸出方程。
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    僅當在系統具有一定屬性的條件下,兩種描述才具有等價關系。
2、系統描述中常用的基本概念
    輸入和輸出:由外部施加到系統上的全部激勵稱為輸入,能從外部量測到的來自系統的信息稱為輸出。
    松弛性:若系統的輸出由輸入惟一確定,則稱系統在時刻是松弛的。
    因果性:若系統在t時刻的輸出僅取決于在t時刻和t之前的輸入,而與t時刻之后的輸入無關,則稱系統具有因果性或因果關系(causal)。
    線  性:一個松弛系統當且僅當對于任何輸入U1和U2以及任何實數a均有
                 
    則該系統稱為線性的,否則稱為非線性的。上面兩式分別 稱為可加性與齊次性。 自動控制網www.yangxinkx.com版權所有
    時不變性(定常性):一個松弛系統當且僅當對于任何輸入u和任何實數a,均有則該系統稱為時不變的或定常的,否則稱為時變的。式中為位移算子。
3、系統狀態空間描述常用的基本概念
    狀態和狀態變量:系統在時間域中的行為或運動信息 的集合稱為狀態。確定系統狀態的一組獨立(數目最。 的變量稱為狀態變量。狀態變量的選取不具有惟一性,同 一個系統可能有多種不同的狀態變量選取方法。
    狀態變量常用符號表示。
    狀態向量:把描述系統狀態的n個狀態變量看作向量x(t)的分量,即則向量x(t)稱為n維狀態向量。
    狀態空間:以n個狀態量作為基底所組成的n維空間稱為狀態空間。

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    狀態軌線:系統在任一時刻的狀態,在狀態空間中用 一點來表示,隨著時間的推移,系統狀態在變化,并在狀 態空間中描繪出一條軌跡。這種系統狀態向量在狀態空間 中隨時間變化的軌跡稱為狀態軌跡或狀態軌線。
    狀態方程:描述系統狀態變量與輸入變量之間關系的 一階微分方程組(連續時間系統)或一階差分方程組(離 散時間系統)稱為系統的狀態方程。狀態方程表征了系統 由輸入所引起的內部狀態變化,其一般形式為
    輸出方程:描述系統輸出變量與系統狀態變量和輸入 變量之間函數關系的代數方程稱為輸出方程,其一般形式為
    狀態空間表達式:狀態方程與輸出方程的給合稱為狀態空間表達式,又稱動態方程,其一般形式為              
    自治系統:若在系統的狀態空間表達中,函數f和g均不顯含時間t或tk,則稱該系統為自治系統,其狀態空間表達式的一般形式為 本文來自www.yangxinkx.com
               
    線性系統:若在系統的狀態空間表達式中,f和g均是線性函數,則稱系統為線性系統,否則為非線性系統。
    線性系統狀態空間表達式:線性系統的狀態方程是一階向量線性微分程或一階向量線性差分方程,輸出方程是向量代數方程。
    線性連續時間系統狀態空間表達式的一般形式為
                      
    對于線性離散時間系統,常取tk=kT(T為采樣周期),其狀態空間表達式的一般形式可寫為
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    若狀態x、輸入u、輸出y的維數分別為n,p,q,則稱n*n矩陣A(t)及G(k)為系統矩陣或狀態矩陣或系數矩陣,稱n*p矩陣B(t)及H(k)為控制矩陣或輸入矩陣,稱q*n矩陣C(t)及C(k)為觀測矩陣或輸出矩陣,
    稱q*p矩陣D(t)及D(k)為前饋矩陣或輸入輸出矩陣。
    線性定常系統:在線性系統的狀態空間表達式中,若系數矩陣A(t),B(t),C(t),D(t)或G(k),H(k),C(k),D(k)的各元素都是常數,則稱該系統為線性定常系統,否則為線性 時變系統。線性定常系統狀態空間表達式的一般形式為
                 
    當輸出方程中D=0時,系統稱為絕對固有系統,否則稱為固有系統。
    線性系統的結構圖:線性系統的狀態空間表達式常用結構圖表示。線性連續時間系統的結構圖如下
左圖所示,線性離散時間系統的結構圖如下右圖所示。每一方塊的輸入-輸出關系規定為輸出向量=(方
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塊所示巨陣)*(輸入向量)
         
    狀態空間分析法:在狀態空間中以狀態向量或狀態變量描述系統的方法稱為狀態空間分析法或狀態變量法。狀態空間分析法的優點是便于采用向量、矩陣記號簡化數學描述,便于在數字機上求解,容易考慮初始條件,能了解系統內部狀態的變化特性,適用于描述時變、非線性、連續、離散、隨機、多變量等各類系統,便于應用現代設計方法實現最優控制、自適應控制等。
4、線性定常連續系統狀態空間表達式的建立
    建立狀態空間表達式的方法主要有兩種:一直接根據系統的機理建立相應的微分方程或差分方程,繼而選擇有關的物理量作為狀態變量,從而導出其狀態空間表達式;二是 由已知的系統其它數學模型經過轉化而得到狀態空間表達式。
   (1)根據系統機理建立狀態空間表達式
   通過例題來介紹根據系統機理建立線性定常連續系統狀態空間表達式的方法。
    例:試列寫如下圖所示RLC網絡的電路方程,選擇幾組狀態變量并建立相應的狀態空間表達式,并就所選狀態變量間的關系進行討論。
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解:根據電路定律可列寫如下方程:

電路輸出量為
1)設狀態變量,則狀態方程為輸出方程為y=X2
其向量-矩陣形式為
3)設狀態變量,則
    可見,系統的狀態空間表達式不具有惟一性。選取不同的狀態變量,便會有不同的狀態空間表達式,但它們都了同一系統?梢酝茢,描述同一系統的不同狀態空間之間一定存在著某種線性變換關系。
    現研究本例題中兩組狀態變量之間關系。設,則有 其相應的向量-矩陣形式為其中 本文來自www.yangxinkx.com
    以上說明只要令,p為非奇異變換矩陣,便可將變換為。
(2)由系統微分方程建立狀態空間表達式
    按系統輸入量中是含有導數項來分別研究。
1)系統輸入量中不含導數項。
    這種單輸入-單輸出線性定常連續系統微分方程的一般形式為
    由于給定n個初值的u(t)時,可惟一確定t>0時系統的行為,可選取個狀態變量為
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    按上式繪制的結構圖稱為狀態變量圖,見下張圖。每個積分器的輸出都是對應的狀態變量,狀態方程由各積分器的輸入-輸出關系確定,輸出方程在輸出端獲得。
2)系統輸入量中含有導數項。
    這種單輸入-單輸出線性定常連續系統微分方程的一般形式為

    一般輸入導數項的次數小于或等于系統的階數n。首先研究的情況。為了避免在狀態方程中出現輸入導數項,可按如下規則選擇一組狀態變量,設
    當bn=0時,我們可以令上述公式中的h0=0得到所需要的結果,也可按如下規則選擇另一組狀態變量。設故有n-1個狀態方程,對求x1導數且考慮前面,經整理有則bn=0時的動態方程為
     
例:設二階系統微分方程為 自動控制網www.yangxinkx.com版權所有
              
  試求系統狀態空間表達式。
  解:設狀態變量
  故有
  對求x2導數且考慮x1,x2及系統微分方程有
     
     
    令項的系數為零可得
    故
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    系統的狀態空間表達式為
     
(3)由系統傳遞函數建立狀態空間表達式上面
    2)所對應的系統傳遞函數為
         
    應用綜合除法有
        
    式中bn是直接聯系輸入、輸出量的前饋系數,當G(s)的分母次數大于分子次數時,bn=0,
是嚴格有理真分式,其系數由綜合除法得到為
                  
    下面介紹由導出幾種標準形式動態方程的方法。
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    1)串聯分解的情況。將分解為兩部分相串聯。
    如下張圖所示,Z為中間變量,Z,Y應滿足
          
      
     輸出方程為
    其向量-矩陣形式的動態方程為
    式中
         
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   上述A陣又稱友矩陣,若狀態方程中A,B的具有這種形式, 則稱為可控標準型.
    當時,A,b的形式不變, 。
    當時,A,b不變,。
    串聯分解時的可控標準型狀態變量圖如下圖所示。
    
     當bn=0時,若按前述方法選取狀態變量,則系統的A,b,c矩陣為
     

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    此處A陣是友矩陣的轉置。若動態方程中A,c的具有這種形式,則稱為可觀測標準型?梢,可控標準型與可觀測 標準型的各矩陣之間存在如下關系(對偶關系 ):
      
2)只含單實極點時的情況。
    此時除了可化為上述可控標準型或可觀測標準型動態方程以外,還可化為對角形動態方程,其A陣是一個對角陣。
    設D(s)可分解為
    則傳遞函數可展成部分分式之和
    而,為在極點處的留數,且有
若令狀態變量

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其反變換結果為
展開得
          

    其向量-矩陣形式為
    
   其狀態變量圖如下張圖(a)所示。
   若令狀態變量
   則 本文來自www.yangxinkx.com

進行反變換并展開有
             
    其向量-矩陣形式為
         
    狀態變量圖如前圖(b)所示。顯見兩者之間存在對偶關系。
3)含重實極點時的情況。
    當傳遞函數除含單實極點之外含有重實極點時,不僅可化為可控、可觀測標準型,還可化約當標準型動態方程,其A陣是一個含約當塊的矩陣。設D(s)可分解為
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    則傳遞函數可展成下列部分分式之和:
         
    其狀態變量的選取方法與只含單實極點時相同。
    可分別得出向量-矩陣形式的動態方程:
         
         
         
可見兩者之間也存在對偶關系。
5、線性定常連續系統狀態方程的解
   (1)齊次狀態方程的解狀態方程稱為齊次狀態方程,通常采用冪級數法和拉普拉斯變法求解。
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    1)冪級數法
    設上述狀態方程式的解t是的向量冪級數
             
    式中都是n維向量,則
              
令上式等號兩邊的同次項的系數相等,則有
           
,故
     
定義
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    則
    稱為矩陣指數函數,簡稱矩陣指數。由于x(t)由x(0)轉移而來,對于線性定常系統,又稱為狀態轉移矩陣,記為,即
2)拉普拉斯變換法
    將方程取拉氏變換有
    則
        
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    進行拉氏反變換有
    與前面相比有
    這里給出了的閉合形式,說明了所示級數的收斂性。
    從上述分析可知,求解齊次狀態方程的問題,就是計算狀態方程轉移矩陣的問題,因而有必要研究的運算性質。
(2)狀態轉移矩陣的運算性質
    重寫狀態轉移矩陣的冪級數展開式
         
    具有如下運算性質:
      
    

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    8)若AB=BA,則;
       若,則
    9)若的狀態轉移矩陣,則引入非奇異變換后的狀態轉移矩陣為 
    10)兩種常見的狀態轉移矩陣。
        設,即A為對角陣,且具有互異元素,則
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     設A陣為約當陣
                      
              
     用冪級數展開式即可證明上式.
    例:設系統的狀態方程為
          
    試求狀態轉移矩陣及狀態方程的解。
    解:由于本例是線性定常系統,故狀態轉移矩陣可寫作
          

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    此題中
           
    因而有
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    狀態方程的解為
          
    例:設系統狀態方程為
          
    試求狀態方程的解。
    解:用拉氏變換求解
          
         
(3)非奇次狀態方程的解
     狀態方程稱為非奇次狀態方程,有如下兩種解法:
    1)積分法

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       由上式可得由于
     積分可得
       
      
    式中第一項是對初始狀態的響應,第二項是對輸入作用的響應。若取t0作為初始時刻,則有
      
2)拉普拉斯變換法
    將方程兩端取拉氏變換,有
       
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    進行拉氏反變換有
      
    由拉氏變換卷積定理
      
    在此將視為,將BU(s)視為,則有
       


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    6、系統的傳遞函數矩陣
對于多輸入-多輸出系統,需要討論傳遞函數矩陣。
    (1)定義及表達式
    初始條件為零時,輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的傳遞關系稱為傳遞函數矩陣,簡稱傳遞矩陣。設系統動態方程為

    令初始條件為零,進行拉氏變換,有

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    則
    系統的傳遞函數矩陣表達式為
    若輸入u為p維向量,輸出y為q維向量,則G(s)為(q*p)矩陣。輸出式的展開式為
    例: 已知系統動態方程為
    試求系統的傳遞矩陣。 自動控制網www.yangxinkx.com版權所有
    解: 已知



    (2)開環與閉環傳遞矩陣
    設多輸入-多輸出系統結構圖如下所示。圖中u,y,z,e分別為輸入、輸出、反饋、偏差向量;G,H分別為前向通路和反饋通路的傳遞矩陣。由圖可知 Z(s)=H(s)Y(s)=H(s)G(s)E(s)
    定義偏差向量至向量之間的傳遞矩陣H(s)G(s)為開環傳遞矩陣,它描述了E(s)至Z(s)之間的傳遞關系。開環傳遞矩陣等于向量傳遞過程中所有部件傳遞矩陣的乘積,其相乘順序與傳遞過程相反,而且由于是矩陣相乘,順序不能任意交換
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    由于
    則
    定義輸入向量至輸出向量之間的傳遞矩陣為閉環傳遞
矩陣,記為φ(s),則
它描述了U(s)至Y(s)之間的傳遞關系。
由于

    定義輸入向量至偏差向量之間的傳遞矩陣為偏差傳遞
矩陣,記為 φe(s),則它描述了U(s)至E(s)之間的傳遞關系。

    (3)解耦系統的傳遞矩陣
    一般多輸入-多輸出系統的傳遞矩陣不是對角陣,每一個輸入量將影響所有輸出量,而每一個輸出量也都會受到所有輸入量的影響。這種系統稱為耦合系統,其控制方式稱為耦合控制。 本文來自www.yangxinkx.com
工程中常希望實現某一輸出量僅受某一輸入量的控制,這種控制方式稱為解耦控制,其相應的系統稱為解耦系統。解耦系統的輸入向量和輸出向量必有相同的維數,傳遞矩陣必為對角陣,即
可以看出,解耦系統是由個獨立的單輸入-單輸出系統組成,
為了控制每個輸出量, 不得為零,即解耦系統的對角化傳遞矩陣必須是非奇異的。在系統中引入適當的校正環節使傳遞矩陣對角化,稱為解耦。下面僅介紹適用于線性定常連續系統的兩種簡單解耦方法。
    1)用串聯補償器Gc(s)實現解耦。
    系統結構圖如圖所示。

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未引入Gc(s)時,原系統為耦合系統,引入Gc(s)后的閉環傳遞矩陣為
    2)用前饋補償器Gd(s)實現解耦。系統結構如圖所示,
Gd(s)的作用是對輸入進行適當變換以實現解耦。未引入時原系統的閉環傳遞矩陣為 自動控制網www.yangxinkx.com版權所有

引入Gd(s)后解耦系統的閉環傳遞矩陣為

由上式可得

按此設計前饋補償器可使系統解耦。
    (4)傳遞函數矩陣的實現
給定一傳遞函數矩陣G(s),若有一系統(A,B,C,D)能使成立,則稱系統(A,B,C,D)是G(s)的一個實現。
    簡言之,實現問題就是由傳遞函數矩陣尋求對應的狀態空間表達式問題。
    1)單位輸入-多輸出系統傳遞矩陣的實現。
設單輸入、q維輸出系統如下張圖所示, 自動控制網www.yangxinkx.com版權所有

若將A陣寫為友矩陣,便可得到可控標準型實現的狀態方程 本文來自www.yangxinkx.com

每個子系統的輸出方程均表示為及其各階導數的線性組合, 即
可以看到,單輸入、q維輸出系統的輸入矩陣為q維列向量,輸出矩陣為(q*n)矩陣,故不存在其對偶形式,即不存在可觀測標準型實現。
    2)多輸入-單輸出系統傳遞矩陣的實現
設p維輸入、單輸出系統的結構如下所示,系統由p個獨立子系統組成,系統輸出由子系統輸出合成為
若將A陣寫成友矩陣的轉置形式,便可得到可觀測標準型實現的動態方程

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可見,p維輸入、單輸出系統的不存在可控標準型實現。
    7、線性離散系統狀態空間表達式的建立及其解
    (1)由差分方程建立動態方程
    單輸入-單輸出線性定常離散系統差分方程的一般形式為

式中,k表示kT時刻;T為采樣周期;y(k),u(k)分別為kT時刻的輸出量和輸入量?紤]初始條件為零時的Z變換關系有
對方程兩端取變換并加以整理 可得 自動控制網www.yangxinkx.com版權所有
G(z)稱為脈沖傳遞函數,連續系統動態方程的建立方法可用于離散系統。在N(z)/D(z)的串聯分解中,引入中間變量Q(z)則有
利用Z 反變換關系
動態方程為
向量-矩陣形式為 自動控制網www.yangxinkx.com版權所有

簡記為
式中G為友矩陣;G,h為可控標準型。
線性定常多輸入-多輸出離散系統的動態方程為


離散化系統的輸出方程仍為
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例: 已知連續時間系統的狀態方程為

設T=1,試求相應的離散時間狀態方程。
解: 由前例已知該連續系統的狀態轉移矩陣為
本文已影響